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速降线问题是一个经典的变分问题，它问的是：在给定两个不同高度的点之间，什么样的弧线不错使一个沿着它滑下的物体用最短的技能到达另一个点？

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这个问题在数学和物理学的发展中起了遑急的作用，它引发了很多着名的数学家和物理学家的创造力和竞争力，也催生了变分法这一数学分支。本文将先容速降线问题的历史和两种解法，一种是愚弄微积分和欧拉-拉格朗日方程，另一种是愚弄费马旨趣和光的折射定律。

问题的提倡

速降线问题最早不错追思到17世纪初，那时意大利物理学家伽利略在磋商解放落体畅通时，提倡了一个访佛的问题：淌若一个物体从一个斜面上滑下，它会沿着什么样的斜面用最短的技能到达底部？伽利略空虚地以为，这么的斜面是一条直线省略一段圆弧。他在1638年出书了《对于两门新科学的对话》，其中包含了他对这个问题的探讨和推理。

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伽利略的空虚莫得被实时发现和改良，直到1696年，瑞士数学家约翰·伯努利在《熟练学报》上认真提倡了速降线问题，并向全欧洲的数学家发出挑战，要求他们在六个月内给出正确的谜底和阐明注解。约翰·伯努利我方也给出了一个解答，但他莫得公布，而是恭候其他东谈主的修起。

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问题的解答

约翰·伯努利的挑战引起了悠扬，很大批学家皆参与了竞赛，其中包括他的哥哥雅各布·伯努利，德国数学家莱布尼茨，法国数学家洛必达，以及英国物理学家牛顿。他们皆在限度日历前寄出了我方的解答，有些还用了假名省略匿名。其中牛顿是最晚收到挑战信的，传奇他只用了一天就处理了问题，并写谈：“我不念念铺张我的技能来处理这么一个浮浅的问题。”

统共这些解答皆取得了正确的后果，即速降线是一条摆线（又称旋轮线或圆滚线），也等于一个固定在平面上滚动的圆周上某少量所造成的轨迹。不外，他们使用了不同的才能来推导和阐明注解这个论断。

雅各布·伯努利使用了最复杂和最一般的才能，他最初假定速降线是一条光滑的弧线，然后用微积分和变分法来求解使下滑技能最小的条目，取得了一个二阶微分方程，再用三角函数来求解这个方程，终末取得了旋轮线的参数方程。

这个才能诚然繁琐，然而却是一个通用的才能，不错用来处理其他访佛的变分问题。雅各布·伯努利在这个经由中发现了变分法的一些基容或趣，比如欧拉-拉格朗日方程，为其后的泛函分析奠定了基础。

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约翰·伯努利、莱布尼茨和牛顿则使用了更简陋和更好意思妙的才能，他们愚弄了费马旨趣，也等于光在两点之间传播时，走的阶梯是使技能最短的阶梯。他们把速降线问题改变为光的折射问题，即淌若一个清明从一个折射率为n的介质干涉另一个折射率为y的介质，它会沿着什么样的旅途折射？凭据费马旨趣和光的折射定律，不错取得一个一阶微分方程，再用三角函数来求解这个方程，也不错取得旋轮线的参数方程。这个才能诚然浮浅，然而却是一个稀奇的才能，只适用于速降线问题，而不可实行到其他变分问题。

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洛必达则使用了一种访佛于约翰·伯努利的才能，然而愈加直不雅和几何化。他把速降线问题看作是在一个平面上画一条弧线，使得从这条弧线上放纵少量垂直落下的物体所需的技能皆十分。他用微积分和几何法来求解这个条目，取得了一个一阶微分方程，再用三角函数来求解这个方程，也不错取得旋轮线的参数方程。这个才能诚然直不雅，然而却是一个稀奇的才能，只适用于速降线问题，而不可实行到其他变分问题。

问题的意旨

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速降线问题不仅展示了数学家们的聪慧和创造力，也促进了数学和物理学的发展。它是变分法的开始，亦然最小作用量旨趣的前驱。它揭示了当然界中存在着一种最优化和最简化的倾向，也启发了东谈主们寻找其他访佛的极值问题和极值旨趣。它还标明了数学之间的干系和长入性，比如微积分、几何、力学、光学等界限皆不错用来处理消失个问题。

它还引发了东谈主们对旋轮线和其他弧线的好奇羡慕和磋商，比如着名的悬链线问题，即在两个固定点之间吊挂一条均匀柔嫩的链条或绳索时，它会造成什么样的弧线？这个问题也不错用变分法来求解，而况取得了一个双曲正弦函数算作谜底。